Question

8．已知曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{10}cosα\\ y=\sqrt{10}sinα\end{array}\right.$（α為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）設點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{10}cosα\\ y=\sqrt{10}sinα\end{array}\right.$（α為參數），利用平方關系可得普通方程．直線l的極坐標方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=2$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐標方程．．
（2）利用點到直線的距離公式可得圓心（-2，0）到直線的距離d，可得點P到直線l的距離d的取值范圍是[d-r，d+r]．

解答 解：（1）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{10}cosα\\ y=\sqrt{10}sinα\end{array}\right.$（α為參數），
利用平方關系可得：（x+2）²+y²=10．
直線l的極坐標方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，
展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=2$\sqrt{2}$，可得直角坐標方程：x+y-4=0；
（2）圓心（-2，0）到直線的距離d=$\frac{|-2+0-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∴點P到直線l的距離d的取值范圍是$[3\sqrt{2}-\sqrt{10}，3\sqrt{2}+\sqrt{10}]$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．