Question

設(shè)f（x）=log 

1

2

1-ax

x-1

為奇函數(shù)，a為常數(shù)，
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）若x∈[3，4]，不等式f（x）＞（

1

2

）^x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立條件關(guān)系即可求a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法即可求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

=log

1

2

x-1

1-ax

，
∴

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，
即（1+ax）（1-ax）=-（x+1）（x-1），
即1-a²x²=1-x²，
即a²=1，
∴a=-1或a=1，
若a=1，則

1-ax

x-1

=

1-x

x-1

=-1＜0不滿足條件，舍去，
故a=-1．
（2）∵f(x)=log

1

2

x+1

x-1

=log

1

2

(1+

2

x-1

)，（x＞1），
設(shè)1＜x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0
∵(1+

2

x1-1

)＞(1+

2

x2-1

)＞1，
∴log

1

2

(1+

2

x1-1

)＜log

1

2

(1+

2

x2-1

)
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）設(shè)g(x)=log

1

2

x+1

x-1

-(

1

2

)x，
則g（x）在[3，4]上是增函數(shù)
∴g（x）＞m對(duì)x∈[3，4]恒成立，
∴m＜g（3）=-

9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，單調(diào)性的證明以及不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用參數(shù)分離法是解決函數(shù)恒成立問(wèn)題的基本方法．