Question

【題目】數(shù)列1，1，3，3，，，…，，是由兩個1，兩個3，兩個，…，兩個按從小到大順序排列，數(shù)列各項的和記為，對于給定的自然數(shù)，若能從數(shù)列中選取一些不同位置的項，使得這些項之和恰等于，便稱為一種選項方案，和數(shù)為的所有選項方案的種數(shù)記為.試求：

的值.

Answer 1

【答案】

【解析】

對每個，易知數(shù)列前項之和小于，故形如的項必須從兩個中選出，于是選出一個有二種方法，同時選出兩個只有一種方法.

對于集合中的每一個數(shù)，可將其表成

，

其中.

即為的含有1993位的三進制數(shù)形式.

若，，，…，中恰是個為1（其余為0或2），則.

將集合分解為

，

其中中的每個數(shù)，在表成上述三進制形式后，數(shù)碼，，，…，中恰有個為1，因此，數(shù)集中共有個數(shù)，這時，中各數(shù)的值之和為

.

由于集，，，…，兩兩不交，從而

.

即.

注意到

即數(shù)列中每項都不選，其方法數(shù).

故.