Question

1．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，PE⊥平面ABCD，E在AD上，F(xiàn)D∥PE，BC=AE=PE，DE=DF=$\frac{1}{2}$BC．
（Ⅰ）求證：AB⊥EF；
（Ⅱ）求證：CF∥平面PAB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面垂直的性質可證PE⊥AB，由已知可證AB⊥AD，利用線面垂直的判定定理即可證明AB⊥平面PAD，由線面垂直的性質可證AB⊥EF．
（Ⅱ）由已知可得∠PAE=∠FED=45°，可證AP∥EF，連接CE，又證明CE∥AB，進而可證平面PAB∥平面EFC，利用面面平行的性質可證CF∥平面PAB．

解答 證明：（Ⅰ）∵PE⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PE⊥AB，
又∵∠BAD=90°，AD∩PE=E，
∴AB⊥平面PAD，
∵EF?平面PAD，
∴AB⊥EF．
（Ⅱ）∵PE⊥平面ABCD，E在AD上，F(xiàn)D∥PE，BC=AE=PE，DE=DF=$\frac{1}{2}$BC．
∴∠PAE=∠FED=45°，
∴AP∥EF，
連接CE，又∵AD∥BC，BC=AE，
∴CE∥AB，且AP∩AB=A，EF∩CE=E，
∴平面PAB∥平面EFC，
又∵CF?平面EFC，
∴CF∥平面PAB．

點評 本題主要考查了線面垂直的性質，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質，面面平行的判定和性質定理的應用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．