Question

10．如圖，拋物線：y²=4mx（m＞0）和圓：x²+y²-2mx=0，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，依次交拋物線，圓于A，B，C，D四點(diǎn)，|AB|•|CD|=2，則m的值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，圓的圓心和半徑，設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），討論若直線的斜率不存在，則直線方程為x=m，求出A，B，C，D的坐標(biāo)，求得AB，CD的長(zhǎng)，解方程可得m；若直線的斜率存在，設(shè)為k，則直線方程為y=k（x-m），代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線的定義和圓的定義，可得m的方程，即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=4mx焦點(diǎn)F（m，0），p=2m，準(zhǔn)線方程為x=-m，
圓（x-m）²+y²=m²的圓心是（m，0）半徑r=m，
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
過拋物線y²=4mx的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及圓（x-m）²+y²=m²于點(diǎn)A，B，C，D，
A，D在拋物線上，B，C在圓上
1．若直線的斜率不存在，則直線方程為x=m，
代入拋物線方程和圓的方程，
可直接得到ABCD四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-2m），（m，-m），（m，m）（m，2m），
所以|AB|•|CD|=m•m=2，
解得m=$\sqrt{2}$；
2．若直線的斜率存在，設(shè)為k，則直線方程為y=k（x-m），
因?yàn)橹本�過拋物線的焦點(diǎn)（m，0），
不妨設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由拋物線的定義，|AF|=x₁+m，|DF|=x₂+m，
把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得
k²x²-（2mk²+4m）x+m²k²=0，
由韋達(dá)定理有x₁x₂=m²，
而拋物線的焦點(diǎn)F同時(shí)是已知圓的圓心，
所以|BF|=|CF|=r=m，
從而有|AB|=|AF|-|BF|=x₁，
|CD|=|DF|-|CF|=x₂，
由|AB|•|CD|=2，即有x₁x₂=2，
由m²=2，解得m=$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．