Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點Q（1，0）的直線l與橢圓C相較于A，B兩點，且點P（4，3），記直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，當k₁•k₂取最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意可得：b=c=

2

，a=2，即可得出橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）當直線l的斜率為0時，利用向量計算公式可得k₁k₂=

3

4

；
當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓方程聯立可得（m²+2）y²+2my-3=0，利用斜率計算公式與根與系數的關系可得k₁•k₂=

3-y1

4-x1

•

3-y2

4-x2

=

3

4

+

4m+1

8m2+12

，令t=4m+1，只考慮t＞0時，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得：b=c=

2

，a=2，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）當直線l的斜率為0時，k₁k₂=

3

4-2

×

3

4+2

=

3

4

；
當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

x=my+1 x2+2y2=4

，化為（m²+2）y²+2my-3=0，
y1+y2=

-2m

m2+2

，y₁y₂=

-3

m2+2

，
又x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
∴k₁•k₂=

3-y1

4-x1

•

3-y2

4-x2

=

(3-y1)(3-y2)

(3-my1)(3-my2)

=

9-3(y1+y2)+y1y2

9-3m(x1+x2)+m2x1x2

=

3m2+2m+5

4m2+6

=

3

4

+

4m+1

8m2+12

，
令t=4m+1，只考慮t＞0時，
∴k₁•k₂=

3

4

+

2t

t2-2t+25

=

3

4

+

2

(t+ 25 t )-2

≤1，當且僅當t=5時取等號．
綜上可得：直線l的方程為：x-y-1=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、直線斜率計算公式、基本不等式的性質，考查了換元法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．