Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）過坐標原點O作曲線y=f（x）的切線，證明：切點的橫坐標為1．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得曲線的切線斜率，寫出切線方程，即可得證

解答 （1）解：當a=1時，f（x）=x²+x-lnx$⇒{f^'}（x）=2x+1-\frac{1}{x}=\frac{（2x-1）（x+1）}{x}（x＞0）$
由${f^'}（x）＞0⇒x＞\frac{1}{2}$；${f^'}（x）＜0⇒0＜x＜\frac{1}{2}$；
所以f（x）的遞減區(qū)間為$（0，\frac{1}{2}）$，遞減區(qū)間為$（\frac{1}{2}，+∞）$；
（2）證明：設(shè)切點為M（t，f（t）），則由切線過原點有切線斜率為$k=\frac{f（t）}{t}$
又由${f^'}（x）=2x+a-\frac{1}{x}⇒$切線斜率為$k=2t+a-\frac{1}{t}$，所以$\frac{f（t）}{t}=2t+a-\frac{1}{t}$
即t²+at-lnt=2t²+at-1⇒t²-1+lnt=0
所以t=1是方程t²-1+lnt=0的根
再證唯一性：設(shè)φ（t）=t²-1+lnt，${φ^'}（t）=2t+\frac{1}{t}＞0$，φ（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且φ（1）=0，
所以方程t²-1+lnt=0有唯一解
綜上，切點的橫坐標為1．

點評 本題主要考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，屬中檔題．