Question

12．已知函數(shù)f（x）=-x²+2lnx，g（x）=x+$\frac{a}{x}$
（1）求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）有相同極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2））若對(duì)于?x₁，x₂∈[$\frac{1}{e}$，3]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），不等式$\frac{f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{k-1}$≤1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=0求出f（x）的極值點(diǎn)，代入g′（x）=0得出a的值；
（2）分別求出f（x），g（x）在[$\frac{1}{e}$，3]上的最大值和最小值，對(duì)k-1的符號(hào)進(jìn)行討論得出恒等式，解出k的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=-2x+$\frac{2}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+2}{x}$，g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0得x=1或x=-1（舍），
∵函數(shù)y=f（x）與y=g（x）有相同極值點(diǎn)，
∴g′（1）=1-a=0，∴a=1．
（2）由（1）可知f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，3]上的最大值為f（1）=-1，最小值為f（3）=-9+2ln3．
g（x）在[$\frac{1}{e}$，3]上的最大值為g（3）=$\frac{10}{3}$，最小值為g（1）=2．
∴2ln3-$\frac{37}{3}$≤f（x₁）-g（x₂）≤-3．
∵不等式$\frac{f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{k-1}$≤1恒成立，
∴當(dāng)k＞1時(shí)，-3≤k-1，∴k＞1．
當(dāng)k＜1時(shí)，2ln3-$\frac{37}{3}$≥k-1，∴k≤2ln3-$\frac{34}{3}$．
綜上，k的取值范圍是（-∞，2ln3-$\frac{34}{3}$）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，極值，最值的關(guān)系，函數(shù)恒成立問題的解決方法，屬于中檔題．