Question

17．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．兩邊都除以2ⁿ⁺¹可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$．b_n+1-b_n=$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{1}{2}$．即可證明．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=b_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n}{2}$，解得a_n=n•2^n-1．再利用錯(cuò)位相減法即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差與首項(xiàng)都為$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=b_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n}{2}$，解得a_n=n•2^n-1．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2S_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
可得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ，
解得S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．