Question

已知z₁=

3

sinx+isinx，z₂=cosx+isinx（i是虛數(shù)單位）．
（1）當x∈[0，π]且|z₁|=|z₂|時，求x的值；
（2）設f（x）=z₁•

.

z2

+

.

z1

•z₂，求f（x）的最大值與最小值及相應的x值．

Answer 1

考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）利用復數(shù)模的計算公式可得

( 3 sinx)2+(sinx)2

=

cos2x+sin2x

，化為4sin²x=1，再利用x∈[0，π]，即可解出；
（2）利用復數(shù)共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的運算法則、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得f（x）=z₁•

.

z2

+

.

z1

•z₂=2sin(2x-

π

6

)+1，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質即可得出最值．

解答： 解：（1）∵|z₁|=|z₂|，
∴

( 3 sinx)2+(sinx)2

=

cos2x+sin2x

，化為4sin²x=1，
∵x∈[0，π]，
∴sinx≥0，∴sinx=

1

2

，
解得x=

π

6

或

5π

6

．
（2）f（x）=z₁•

.

z2

+

.

z1

•z₂=(

3

sinx+isinx)（cosx-isinx）+(

3

sinx-isinx)（cosx+isinx）
=2

3

sinxcosx+2sin2x
=

3

sin2x+1-cos2x
=2sin(2x-

π

6

)+1，
當2x-

π

6

=2kπ+

π

2

時，即x=kπ+

π

3

（k∈Z）時，f（x）_max=3．
當2x-

π

6

=2kπ-

π

2

時，即x=kπ-

π

6

（k∈Z）時，f（x）_min=-1．

點評：本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義、復數(shù)模的計算公式、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的圖象與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．