Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=1，a_n+2-5a_n+1+a_n=0（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：構(gòu)造數(shù)列{a_n+1+λa_n}為等比數(shù)列，有前三項(xiàng)分別為1+2λ，3+λ，14+3λ，求得λ，進(jìn)而可求得結(jié)論．

解答： 解：因?yàn)閿?shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1，a_n+2=-a_n+5a_n+1（n∈N*），
設(shè){a_n+1+λa_n}為等比數(shù)列，則前三項(xiàng)分別為1+2λ，3+λ，14+3λ，
∴（3+λ）²=（1+2λ）（14+3λ），
化簡(jiǎn)得λ²+5λ+1=0，
解得λ=

21 -5

2

或

-5- 21

2

．
∴{a_n+1+

21 -5

2

a_n}是首項(xiàng)為

21

-4公比為

5+ 21

2

的等比數(shù)列，
∴{a_n+1+

-5- 21

2

a_n}是首項(xiàng)為-

21

-4公比為

5- 21

2

的等比數(shù)列，
∴a_n+1+

21 -5

2

a_n=（

21

-4）(

5+ 21

2

)n-1，…①
a_n+1+

-5- 21

2

a_n=（-

21

-4）(

5- 21

2

)n-1，…②
以上①-②得-

21

a_n=（

21

-4）(

5+ 21

2

)n-1-（-

21

-4）(

5- 21

2

)n-1，
∴a_n=（

4 21

21

-1）(

5+ 21

2

)n-1-（

4 21

21

+1）(

5- 21

2

)n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生構(gòu)造數(shù)列的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用能力及運(yùn)算求解能力，屬于難題．