Question

已知在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）AB=AD=AA₁=1，且∠A₁AD=∠A₁AB=∠DAB=

π

3

，求AC₁的長；
（2）底面ABCD是菱形，∠A₁AD=∠A₁AB=∠DAB=θ，當(dāng)

AA1

AB

為何值時(shí)，AC₁⊥面A₁BD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，過A₁作A₁O⊥平面AC，O為垂足，則O在∠BAD的角平分線，即AC上，從而在三角形A₁B₁C₁中，可求AC₁的長．
（2）首先得到C₁C⊥BD； 得到BD⊥平面AC₁，當(dāng)

AA1

AB

為1時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形．

解答： 解：（1）過A₁作A₁O⊥平面AC，O為垂足，
∵∠BAA₁=∠DA A₁，AB=AD，ABCD為菱形
∴O在∠BAD的角平分線，即AC上，
∵cos∠BAA₁=cos∠BAC•cos∠OAA₁，
∴cos∠OAA₁=

cos∠BAA1

cos∠BAC

=

1 2

3 2

=

3

3

，
連A₁C₁則AA₁C₁C為平行四邊形，∴cos∠AA₁C₁=-

3

3

，
在三角形A₁B₁C₁中，A₁C₁²=A₁B₁²+C₁B₁²-2A₁B₁•C₁B₁cos∠A₁B₁C₁=3，
∴AC₁=

AA12+A1C12-2AA1•A1C1cosAA1C1

=

1+3-2× 3 ×(- 3 3 )

=

6

；
（2）連結(jié)A₁C₁、AC，AC和BD交于點(diǎn)O，連結(jié)C₁O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD
又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C是公共邊，∴△C₁BC≌△C₁DC，∴C₁B=C₁D
∵DO=OB，∴C₁O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C₁O=O
∴BD⊥平面AC₁，又C₁C?平面AC₁，∴C₁C⊥BD；
∴BD⊥平面AC₁，∵A₁O_?平面AC₁，∴BD⊥A₁C，當(dāng)

AA1

AB

為1時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形，
同理可證BC₁⊥A₁C，又∵BD∩BC₁=B，∴A₁C⊥平面C₁BD．

點(diǎn)評：本題以平行六面體為載體，考查余弦定理，線面垂直得判斷；關(guān)鍵是利用條件∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．