Question

16．橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P（0，2）關(guān)于直線y=-x的對稱點在橢圓M上，且|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$
（1）求橢圓M的方程；
（2）如圖，橢圓M的上、下頂點分別為A，B過點P的直線l與橢圓M相交于兩個不同的點C，D（C在線段PD之間）．
（�。┣�$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范圍；
（ⅱ）當(dāng)AD與BC相交于點Q時，試問：點Q的縱坐標(biāo)是否是定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）點P（0，2）關(guān)于直線y=-x的對稱點（-2，0）在橢圓M上，可得a=2．由|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$=2c，可得c，于是b²=a²-c²．
（2）（i）當(dāng)直線l的斜率不存在時，C（0，1），D（0，-1），$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-1．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（1+4k²）x²+16kx+12=0，△，0，可得4k²＞3．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運算性質(zhì)可得：$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-1+$\frac{17}{1+4{k}^{2}}$．
（ii）由題意可得：直線AD的方程為：y=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$x+1，BC的方程為：y=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x-1．聯(lián)立消去x，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出．

解答 解：（1）點P（0，2）關(guān)于直線y=-x的對稱點（-2，0）在橢圓M上，∴a=2．
∵|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$=2c，∴c=$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）（i）當(dāng)直線l的斜率不存在時，C（0，1），D（0，-1），$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-1．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為（1+4k²）x²+16kx+12=0，△＞0，可得4k²＞3．
∴x₁+x₂=$\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-1+$\frac{17}{1+4{k}^{2}}$∈$（-1，\frac{13}{4}）$．
綜上可得：$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范圍是$[-1，\frac{13}{4}）$．
（ii）由題意可得：直線AD的方程為：y=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$x+1，BC的方程為：y=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x-1．
聯(lián)立消去x可得：$y=\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+3{x}_{2}}{3{x}_{2}-{x}_{1}}$，
又4kx₁x₂=-3（x₁+x₂），可得y=$\frac{1}{2}$．
點Q的縱坐標(biāo)是定值$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)、直線過定點問題，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．