Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+x，x≤0}\\{lo{g}_{2}（{x}^{2}+2x+a），x＞0}\end{array}\right.$，其中a＞0，當a=2且f（x₀）=1時，x₀=0；若函數f（x）的值域為R，則實數a的取值范圍是（0，2]．

Answer 1

分析 當a=2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1+x，x≤0\\ lo{g}_{2}（{x}^{2}+2x+2），x＞0\end{array}\right.$，分類討論滿足f（x₀）=1的x₀值，可得答案；函數f（x）的值域為R，則當x=0時，函數y=${{x}_{\;}}^{2}+2{x}_{\;}+a$的值0＜a≤2．

解答 解：當a=2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1+x，x≤0\\ lo{g}_{2}（{x}^{2}+2x+2），x＞0\end{array}\right.$，
若x₀≤0，則f（x₀）=1+x₀=1，
解得：x₀=0，
若x₀＞0，則f（x₀）=${log}_{2}（{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+2）$=1，
即${{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+2=2$，
解得：x₀=0（舍去），或x₀=-2（舍去），
綜上，當a=2且f（x₀）=1時，x₀=0；
當x≤0時，則f（x）=1+x≤1，
當x＞0時，則f（x）=${log}_{2}（{{x}_{\;}}^{2}+2{x}_{\;}+a）$，
若函數f（x）的值域為R，
則當x=0時，函數y=${{x}_{\;}}^{2}+2{x}_{\;}+a$的值0＜a≤2，
即實數a的取值范圍是（0，2]
故答案為：0，（0，2]

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，二次函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，難度中檔．