Question

13．已知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{m-2}$+$\frac{{y}^{2}}{m-5}$=1表示雙曲線，命題q：x∈（0，+∞），x²-mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命題，且綈（p∧q）也是真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出兩個命題是真命題時的m的范圍，利用復合命題的真假寫出結果即可．

解答 解：p真時有：（m-2）（m-5）＜0即2＜m＜5；（3分）
q真時有：m≤$\frac{{x}^{2}+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$，對x∈（0，+∞）恒成立，即m≤$（x+\frac{4}{x}）_{min}$，
而x∈（0，+∞）時，x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當x=2時取等號．即m≤4．（7分）
由p∨q是真命題，且綈（p∧q）也是真命題得：p與q為一真一假；（9分）
當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}2＜m＜5\\ m＞4\end{array}$，可得4＜m＜5；
當p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}m≤2或m≥5\\ m≤4\end{array}$，解得m≤2；（11分）
綜上，所求m的取值范圍是（-∞，2]∪（4，5）．（12分）

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，雙曲線的簡單性質(zhì)以及函數(shù)恒成立條件的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．