Question

2．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{2}{x}$-lnx的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）．
（1）解不等式：f'（x）＜2；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）-4x的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導(dǎo)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為不等式方程求解即可；
（2）首先列出g（x）的表達(dá)式，直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間即可；

解答 解：（1）對f（x）求導(dǎo)后：$f'（x）=1+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}（{x＞0}）$，
∴由f'（x）＜2，即得$\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}-1＜0（{x＞0}）$，
∴x²+x-2＞0 （x＞0），
∴x＞1，則f'（x）＜2的解集為（1，+∞）．
（2）g（x）=f（x）-4x=-3x-$\frac{2}{x}$-lnx，
則g'（x）=-3+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+1）（3x-2）}{{x}^{2}}$，
∴0＜x＜$\frac{2}{3}$時(shí)，g'（x）＞0；x＞$\frac{2}{3}$時(shí)，g'（x）＜0，
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（{0，\frac{2}{3}}）$，單調(diào)減區(qū)間為$（{\frac{2}{3}，+∞}）$．

點(diǎn)評 本題主要考查了對導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，不等式的解法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，屬基礎(chǔ)題．