Question

3．已知f（x）=4^x-2^x+1-a（a∈R）
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）若f（x）有零點(diǎn)，且t=$\frac{a-3}{a+3}$，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0，求出函數(shù)的零點(diǎn)即可；
（2）求出a+3的范圍，從而求出t的范圍．

解答 解：（1）a=3時(shí)，f（x）=4^x-2^x+1-3，
令4^x-2^x+1-3=0，得：（2^x-3）（2^x+1）=0，
∵2^x+1≠0，∴2^x-3=0，
故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是log₂3；
（2）若f（x）有零點(diǎn)，
則a=（2^x-1）²-1，
∵2^x＞0，
∴a=（2^x-1）²-1∈[-1，+∞），
∴a+3∈[2，+∞），
∴$\frac{6}{a+3}$∈（0，3]，
∴t=$\frac{a-3}{a+3}$=1-$\frac{6}{a+3}$，
∴-2≤t=1-$\frac{6}{a+3}$＜1，
故t的范圍是[-2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．