Question

5．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=a^x-1（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x）＜4，結(jié)果用集合或區(qū)間表示．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得f（-2）=-f（2），即f（2）+f（-2）=0．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，根據(jù)f（-x）=a^-x-1=-f（x），求得f（x）的解析式．
（3）分類討論a的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式f（x）＜4的解集．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（-2）=-f（2），即f（2）+f（-2）=0．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=a^-x-1．
由f（x）是奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x），∵f（-x）=a^-x-1，
∴f（x）=-a^-x+1（x＜0），∴所求的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}-1（x≥0）\\-{a^{-x}}+1（x＜0）\end{array}\right.$．
（3）不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{a^x}-1＜4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x＜0\\-{a^{-x}}+1＜4\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{a^x}＜5\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x＜0\\-{a^{-x}}＜3\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{a^x}＜5\end{array}\right.或x＜0$．
當(dāng)a＞1時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x＜{log_a}5\end{array}\right.或x＜0$，∵log_a5＞0，所以不等式的解集為（-∞，log_a5）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x＞{log_a}5\end{array}\right.或x＜0$，∵log_a5＜0，所以不等式的解集為（-∞，0）．
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為（-∞，log_a5）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為（-∞，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求函數(shù)的解析式，解不等式，屬于中檔題．