Question

14．已知三棱錐P-ABC的體積為$\frac{1}{2}$，且PA⊥AB，PC⊥BC，∠ABC=120°，BA=BC=1，若此棱錐的所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為16π．

Answer 1

分析 求出△ABC的外接圓的半徑，BC，設(shè)球O的半徑為R，O到平面ABC的距離為d，則由勾股定理可得R²=1²+d²=1²+（2$\sqrt{3}$-d）²，求出d，R，即可求出球O的表面積．

解答 解：∵△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
設(shè)P到平面ABC的距離為h，則
∵三棱錐P-ABC的體積為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}h$=$\frac{1}{2}$，
∴h=2$\sqrt{3}$．
由余弦定理可得AC=$\sqrt{1+1-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2，∴r=1．
設(shè)球O的半徑為R，O到平面ABC的距離為d，則由勾股定理可得R²=1²+d²=1²+（2$\sqrt{3}$-d）²，
∴d=$\sqrt{3}$，R=2，
∴球O的表面積為4πR²=16π．
故答案為：16π．

點評 本題給出特殊的三棱錐，由它的外接球的表面積．著重考查了正弦定理、余弦定理、勾股定理與球的表面積公式等知識，屬于中檔題．