Question

3．如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．將△AED和△BFC分別沿DE，CF折起，使A，B兩點(diǎn)重合，記為點(diǎn)M，得到一個(gè)四棱錐M-CDEF，點(diǎn)G，N，H分別是MC，MD，EF的中點(diǎn)．
（1）求證：GH∥平面DEM；
（2）求證：EM⊥CN；
（3）求直線GH與平面NFC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)NG，EN，則可證四邊形ENGH是平行四邊形，于是GH∥EN，于是GH∥平面DEM；
（2）取CD的中點(diǎn)P，連結(jié)PH，則可證明PH⊥平面MEF，以H為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{EM}$和$\overrightarrow{NC}$的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{NC}$=0得出EM⊥CN；
（3）求出$\overrightarrow{HG}$和平面NFC的法向量$\overrightarrow{n}$，則直線GH與平面NFC所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{HG}，\overrightarrow{n}$＞|，從而得出所求線面角的大小．

解答 證明：（1）連結(jié)NG，EN，
∵N，G分別是MD，MC的中點(diǎn)，∴NG∥CD，NG=$\frac{1}{2}$CD．
∵H是EF的中點(diǎn)，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=$\frac{1}{2}$CD
∴NG∥EH，NG=EH，
∴四邊形ENGH是平行四邊形，
∴GH∥EN，又GH?平面DEM，EN?平面DEM，
∴GH∥平面DEM．
（2）∵M(jìn)E=EF=MF，∴△MEF是等邊三角形
∴MH⊥EF，
取CD的中點(diǎn)P，連結(jié)PH，則PH∥DE，
∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，
∴DE⊥平面MEF，
∴PH⊥平面MEF．
以H為原點(diǎn)，以HM，HF，HP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則E（0，-1，0），M（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，2），N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{EM}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{NC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{NC}$=$\sqrt{3}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$+1×$\frac{3}{2}$+0×1=0．
∴$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{NC}$．
∴EM⊥NC．
（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{HG}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{FC}$=（0，0，2），$\overrightarrow{NC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，1），
設(shè)平面NFC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y+z=0}\end{array}\right.$．
令y=1得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{HG}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{HG}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線GH與平面NFC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線GH與平面NFC所成角為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，空間向量的應(yīng)用與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．