Question

9．已知直線l：mx+$\sqrt{2}$ny=2與圓O：x²+y²=1交于A、B兩點(diǎn)，若△AOB為直角三角形，則點(diǎn)M（m，n）到點(diǎn)P（-2，0）、Q（2，0）的距離之和（　�。�

• A． 最大值為6$\sqrt{2}$
• B． 最小值為3$\sqrt{2}$
• C． 是一個常數(shù)4$\sqrt{3}$
• D． 是一個常數(shù)4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出弦長|AB，由點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線ax+by=1的距離，根據(jù)弦長公式列出方程并化簡，即可求出點(diǎn)M的軌跡方程和軌跡，根據(jù)橢圓的性質(zhì)和定義可得答案．

解答 解：∵△AOB是直角三角形，且|OA|=|OB|=1，
∴∠AOB=90°，|AB|=$\sqrt{2}$，
∵圓心（0，0）到直線l：mx+$\sqrt{2}$ny=2的距離：d=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+2{n}^{2}}}$，
∴${1}^{2}{=（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}+（\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+2{n}^{2}}}）^{2}$，化簡得m²+2n²=8，即$\frac{{m}^{2}}{8}+\frac{{n}^{2}}{4}=1$，
則點(diǎn)M（m，n）的軌跡是焦點(diǎn)為點(diǎn)P（-2，0）、Q（2，0）的橢圓，
∴由橢圓的定義知，
點(diǎn)M（m，n）到點(diǎn)P（-2，0）、Q（2，0）的距離之和是2a=4$\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓相交問題弦長問題、點(diǎn)到直線的距離公式，以及橢圓的定義，考查學(xué)生的化簡能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．