Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在兩個整數(shù)x₁，x₂，使得f（x₁），f（x₂）都小于0，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{5}{{3{e^2}}}$，$\frac{3}{2e}$）
• B． [-$\frac{3}{2e}$，$\frac{3}{2e}$）
• C． [$\frac{5}{{3{e^2}}}$，1）
• D． [$\frac{3}{2e}$，1）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，則存在兩個整數(shù)x₁，x₂，使得g（x）在直線y=ax-a的下方，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，
其中a＜1，
設(shè)g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，
∵存在兩個整數(shù)x₁，x₂，
使得f（x₁），f（x₂）都小于0，
∴存在兩個整數(shù)x₁，x₂，
使得g（x）在直線y=ax-a的下方，
∵g′（x）=e^x（2x+1），
∴當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時，g′（x）＜0，
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，[g（x）]_min=g（-$\frac{1}{2}$）=-2${e}^{-\frac{1}{2}}$．
當(dāng)x=0時，g（0）=-1，g（1）=e＞0，
直線y=ax-a恒過（1，0），斜率為a，故-a＞g（0）=-1，
且g（-1）=-3e^-1＜-a-a，解得a＜$\frac{3}{2e}$．g（-2）≥-2a-a，解得a≥$\frac{5}{3{e}^{2}}$，
∴a的取值范圍是[$\frac{5}{3{e}^{2}}$，$\frac{3}{2e}$）．
故選：A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)和極值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．