Question

12．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x在（2m，1-m）上有最大值，則實數(shù)m的取值范圍是[-1，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 因為給的是開區(qū)間，最大值一定是在該極大值點處取得，因此對原函數(shù)求導、求極大值點，求出函數(shù)極大值時的x值，然后讓極大值點落在區(qū)間（2m，1-m）內，依此構造不等式．即可求解實數(shù)m的值

解答 解：由題 f'（x）=x²-1，
令f'（x）＜0解得-1＜x＜1；令f'（x）＞0解得x＜-1或x＞1
由此得函數(shù)在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故x=-1是函數(shù)f（x）的極大值點，f（-1）=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$x³-x=$\frac{2}{3}$，解得x=2，
故函數(shù)在x=-1處取到極大值2，判斷知此極大值必是區(qū)間（2m，1-m）上的最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m＜1-m}\\{2m＜-1}\\{1-m＞-1}\\{1-m≤2}\end{array}\right.$，
解得-1≤m＜-$\frac{1}{2}$，
故實數(shù)m的取值范圍是[-1，-$\frac{1}{2}$），
故答案為：[-1，-$\frac{1}{2}$）

點評 本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值是導數(shù)作為數(shù)學中工具的一個重要運用，要注意把握其作題步驟，求導，確定單調性，得出最值．