Question

5．設函數(shù)f（x）=ax²+lnx，
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率是-1，求a；
（2）已知a＜0，若f（x）≤-$\frac{1}{2}$恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到f′（1）=-1，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）=ax²+lnx，可得$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}$，--------（1分）
所以f'（1）=-1，解得a=-1．---------4 分
（2）$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}+1}}{x}=\frac{{2a（{x^2}+\frac{1}{2a}）}}{x}，（x＞0，a＜0）$．
令f'（x）=0，則$x=\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
當$x∈（{0，\sqrt{-\frac{1}{2a}}}]$時，f'（x）＞0；
當$x∈（\sqrt{-\frac{1}{2a}}，+∞）$時，f'（x）＜0．-------（7分）
故$x=\sqrt{-\frac{1}{2a}}$為函數(shù)f（x）的唯一極大值點，
所以f（x）的最大值為$f（\sqrt{-\frac{1}{2a}}）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ln（-\frac{1}{2a}）$．-------（9分）
由題意有$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ln（-\frac{1}{2a}）≤-\frac{1}{2}$，解得$a≤-\frac{1}{2}$．
所以a的取值范圍為$（-∞，-\frac{1}{2}]$．--------（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．