Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+5，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求y=f（x）在R上的單調(diào)區(qū)間
（3）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得曲線在x=1處切線的斜率，運(yùn)用已知切線的方程，可得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，解方程可得a，b的值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）求出f（x）的極值和區(qū)間[-3，1]處的函數(shù)值，比較即可得到所求最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+5的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線斜率為k=3+2a+b，
切點(diǎn)為（1，6+a+b），
由切線方程為y=3x+1，可得3+2a+b=3，6+a+b=4，
解得a=2，b=-4；
（2）函數(shù)f（x）=x³+2x²-4x+5的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
由f′（x）＞0，可得x＞$\frac{2}{3}$或x＜-2；由f′（x）＜0，可得-2＜x＜$\frac{2}{3}$．
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞）；減區(qū)間為（-2，$\frac{2}{3}$）；
（3）由（2）可得f（x）的兩極值點(diǎn)-2，$\frac{2}{3}$，
f（-2）=-8+8+8+5=13，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{27}$+$\frac{8}{9}$-$\frac{8}{3}$+5=$\frac{95}{27}$，
又f（-3）=-27+18+12+5=8，f（1）=1+2-4+5=4．
故y=f（x）在[-3，1]上的最大值為13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、最值，考查方程思想的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．