Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx-x，g（x）=f（x）-（2-

π

2

）．
（1）討論g（x）在（0，

π

6

）內和在（

π

6

，

π

2

）內的零點情況．
（2）設x₀是g（x）在（0，

π

6

）內的一個零點，求f（x）在[x₀，

π

2

]上的最值．
（3）證明對n∈N^*恒有n-

n

+

1

2

＜

n

k=1

cos

1

k

＜（

3

2

+

π

12

）n-

n+1

+1．

Answer 1

考點：不等式的證明,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：證明題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由g'（x）=2cosx-1=0，知g（x）在(0，

π

2

)有唯一零點x=

π

3

，進一步分析其在（0，

π

6

）內和在（

π

6

，

π

2

）內的單調情況即可得到g（x）在（0，

π

6

）內和在（

π

6

，

π

2

）內的零點情況．
（2）由（1）的結論知f（x）在[x0，

π

2

]的最小值應為min{f(x0)，f(

π

2

)}，進一步分析可得f（x）在[x0，

π

2

]的最小值f(x0)=f(

π

2

)=2-

π

2

．
（3）由（2）知x∈[x0，

π

2

]時，有2-

π

2

≤f(x)≤

3

-

π

3

，即

1

2

x+1-

π

4

≤sinx≤

1

2

x+

3

2

-

π

6

①，于是可得n-

1

2

n

k=1

1

k

≤

n

k=1

cos

1

k

≤(

3

2

+

π

12

)n-

1

2

n

k=1

1

k

②，再利用放縮法可證得

n

k=1

cos

1

k

＜(

3

2

+

π

12

)n-(

n+1

-1)  ③與

n

k=1

cos

1

k

＞n-

1

2

(2

n

-1)=n-

n

+

1

2

④，從而可證得結論成立．

解答： （1）解：g'（x）=2cosx-1在(0，

π

2

)有唯一零點x=

π

3

，易知g（x）在(0，

π

3

)單增而在(

π

3

，

π

2

)內單減，且g(

π

3

)=(

3

-

π

3

)-(2-

π

2

)＞0，
故g（x）在(0，

π

3

)和[

π

3

，

π

2

)內都至多有一個零點．
又g(0)＜0，g(

π

6

)=(1-

π

6

)-(2-

π

2

)=

π

3

-1＞0，故g（x）在（0，

π

6

）內有唯一零點；再由g(

π

2

)=0知g（x）在（

π

6

，

π

2

）內無零點．
（2）由（1）知g（x）在[0，

π

2

]有最大值g(

π

3

)=(

3

-

π

3

)-(2-

π

2

)，故f（x）在[x0，

π

2

]有最大值f(

π

3

)=

3

-

π

3

；
再由（1）的結論知f（x）在[x0，

π

2

]的最小值應為min{f(x0)，f(

π

2

)}．由g（x₀）=0知f(x0)=2-

π

2

=f(

π

2

)，于是f（x）在[x0，

π

2

]的最小值f(x0)=f(

π

2

)=2-

π

2

．
（3）證明：由（2）知x∈[x0，

π

2

]時，有2-

π

2

≤f(x)≤

3

-

π

3

，即

1

2

x+1-

π

4

≤sinx≤

1

2

x+

3

2

-

π

6

①
取xk=

π

2

-

1

k

(k∈N*)，則xk＜

π

2

且xk≥

π

2

-1＞

π

6

＞x0，將x_k的值代入①中，可得1-

1

2 k

≤cos

1

k

≤

3

2

+

π

12

-

1

2 k

⇒n-

1

2

n

k=1

1

k

≤

n

k=1

cos

1

k

≤(

3

2

+

π

12

)n-

1

2

n

k=1

1

k

②
再由

n

k=1

1

k

=

n

k=1

2

2 k

＞2

n

k=1

1

k+1 + k

=2

n

k=1

(

k+1

-

k

)=2(

n+1

-1)，得

n

k=1

cos

1

k

＜(

3

2

+

π

12

)n-(

n+1

-1)       ③
相仿地，n≥2時，

n

k=1

1

k

=1+

n

k=2

2

2 k

＜1+2

n

k=2

(

k

-

k-1

)=2

n

-1，故

n

k=1

cos

1

k

＞n-

1

2

(2

n

-1)=n-

n

+

1

2

④
而n=1時④即cos1＞cos600=

1

2

，顯然也成立．故原不等式成立．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調性與極值，突出放縮法在證明不等式中的應用，考查抽象思維、邏輯思維、創(chuàng)新思維能力的綜合運用，屬于難題．