Question

10．設(shè)f（x）=ln（1+3^x+9^xa），對(duì)于任意的a∈R，若當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，f（x）恒有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． [-2，+∞）
• D． （-2，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)y=1+3^x+9^xa，t=3^x，由x∈（-∞，0]和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出t的范圍，代入函數(shù)y化簡(jiǎn)，由題意和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由分離常數(shù)法表示出a，利用換元法、配方法和一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，可得a的取值范圍．

解答 解：設(shè)y=1+3^x+9^xa，t=3^x，
由x∈（-∞，0]得t∈（0，1]，
代入y=1+3^x+9^xa得，y=at²+t+1，
∵對(duì)于任意的a∈R，若當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，f（x）恒有意義，
∴對(duì)于任意的a∈R，若當(dāng)t∈（0，1]時(shí)，at²+t+1＞0恒有意義，
則$a＞\frac{-t-1}{{t}^{2}}$=$-\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{1}{t}$，
由t∈（0，1]得$\frac{1}{t}≥1$，設(shè)m=$\frac{1}{t}$，
則y=-m²-m=-（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤-2，即$-\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{1}{t}$的最大值是-2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，+∞），
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)、一元二次函數(shù)的性質(zhì)，以及分離常數(shù)法、換元法、配方法的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力．