Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓： 的離心率，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的

坐標(biāo)；若不存在說明理由；

（3）若過點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率和左頂點(diǎn)，求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）直線l的方程為y=k（x+4），與橢圓聯(lián)立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2-12）]=0，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直，結(jié)合題意能求出結(jié)果．
（3）OM的方程可設(shè)為y=kx，與橢圓聯(lián)立得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，，能求出結(jié)果．

試題解析：

（1）因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，所以，又，所以

又因?yàn)?/span>，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）直線的方程為，由消元得

化簡得， ，

所以

當(dāng)時， ，

所以.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則.

直線的方程為，令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

假設(shè)存在定點(diǎn)使得,

則，即恒成立，

所以恒成立，所以即

因此定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）因?yàn)?/span>,所以的方程可設(shè)為，

由得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

由，得

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，

所以當(dāng)時， 的最小值為．