Question

14．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₂a₃=128，a₃+a₄=48．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{nlo{g}_{2}{a}_{n}}$，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，不等式S_n＞log₂（a-2）對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=$\frac{1}{nlo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{nlo{g}_{2}{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-$\frac{1}{n+1}$，由不等式S_n＞log₂（a-2）對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，得到log₂（a-2）$≤\frac{1}{2}$=log₂$\sqrt{2}$，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₂a₃=128，a₃+a₄=48，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q×{a}_{1}{q}^{2}=128}\\{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=48}\\{q＞0}\end{array}\right.$，解得a₁=4，q=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（2）b_n=$\frac{1}{nlo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{nlo{g}_{2}{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$≥$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}≤{S}_{n}＜1$，
∵不等式S_n＞log₂（a-2）對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
∴1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$＞log₂（a-2）對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
∴l(xiāng)og₂（a-2）≤$\frac{1}{2}$=log₂$\sqrt{2}$，即0＜a-2＜$\sqrt{2}$，解得2＜a＜2+$\sqrt{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，2+$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查等比數(shù)列、裂項(xiàng)求和法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．