Question

19．已知圓C：x²+y²=1，若直線l：x+y+m=0上存在一點(diǎn)P，在經(jīng)過點(diǎn)P的所有直線中，至少有一對(duì)相互垂直的直線l₁，l₂，使這一對(duì)直線l₁，l₂與圓C均有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2，2]．

Answer 1

分析 過點(diǎn)P作兩條切線PA，PB，當(dāng)PB⊥PB時(shí)，點(diǎn)P滿足條件：x²+y²=2
依題意只需直線x+y+m=0與圓：x²+y²=2有公共點(diǎn)即可，
即$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$$≤\sqrt{2}$，解得數(shù)m的取值范圍

解答 解：如圖，過點(diǎn)P作兩條切線PA，PB，當(dāng)PB⊥PB時(shí)，OP=$\sqrt{2}$，
即點(diǎn)P滿足條件：x²+y²=2
∴經(jīng)若直線l：x+y+m=0上存在一點(diǎn)P，過點(diǎn)P的所有直線中，至少有一對(duì)相互垂直的直線l₁，l₂，使這一對(duì)直線l₁，l₂與圓C均有公共點(diǎn)，
只需直線x+y+m=0與圓：x²+y²=2有公共點(diǎn)即可，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$$≤\sqrt{2}$，解得-2≤m≤2
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是：[-2，2]
故答案為：[-2，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．