Question

若實數(shù)x、y滿足x²+y²=4，則

xy

x+y-2

的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導數(shù)的綜合應用,直線與圓

分析：令x=2cosθ，y=2sinθ，可得

xy

x+y-2

=

2sinθcosθ

sinθ+cosθ-1

，令sinθ+cosθ=t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[-

2

，

2

]且t≠1．可得

xy

x+y-2

=

t2-1

t-1

=t+1=f（t），即可得出．

解答： 解：令x=2cosθ，y=2sinθ，
∴

xy

x+y-2

=

4sinθcosθ

2sinθ+2cosθ-2

=

2sinθcosθ

sinθ+cosθ-1

，
令sinθ+cosθ=t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[-

2

，

2

]且t≠1．
則t²=1+2sinθcosθ，
∴2sinθcosθ=t²-1．
∴

xy

x+y-2

=

t2-1

t-1

=t+1=f（t），
∴（t+1）∈[1-

2

，1+

2

]，且（t+1）≠2．
故答案為：[1-

2

，1+

2

]，且（t+1）≠2．

點評：本題考查了圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)代換、三角函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．