【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3 . 若a> ,且當(dāng)x∈[1,4a]時,|f′(x)|≤12a恒成立,則a的取值范圍為(
A.( , ]
B.( ,1]
C.[﹣ ,1]
D.[0, ]

【答案】A
【解析】解:f′(x)=3x2﹣6ax﹣9a2的圖象是一條開口向上的拋物線,關(guān)于x=a對稱. 若 <a≤1,則f′(x)在[1,4a]上是增函數(shù),
從而(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)=3﹣6a﹣9a2 , 最大值是f′(4a)=15a2
由|f′(x)|≤12a,得﹣12a≤3x2﹣6ax﹣9a2≤12a,于是有3﹣6a﹣9a2≥﹣12a,且f′(4a)=15a2≤12a.
由f′(1)≥﹣12a得﹣ ≤a≤1,由f′(4a)≤12a得0≤a≤
所以a∈( ,1]∩[﹣ ,1]∩[0, ],即a∈( , ].
若a>1,則∵|f′(a)|=15a2>12a.故當(dāng)x∈[1,4a]時|f′(x)|≤12a不恒成立.
所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范圍是( , ],
故選:A.
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

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C. 向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標(biāo)不變

D. 向左平移個長度單位,再把所得各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變

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