Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分別為AB，B₁C₁的中點．
（I）求證：MN∥平面AA₁C₁C；
（II） 若CC₁=CB₁，CA=CB，平面CC₁B₁B⊥平面ABC，求證：AB⊥平面CMN
（III）若直線A₁B₁與平面CMN的交點為D，試確定$\frac{{B}_{1}D}{{A}_{1}{B}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （I）取A₁C₁的中點P，連接AP，NP．證得四邊形AMNP為平行四邊形．再由線面平行的判定定理即可得到；
（II）運用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得證．
（III）經(jīng)N點向A₁B₁作垂線，設(shè)垂足為D，連接DM，可證ND∥CM，取A₁B₁的中點E，連接C₁E，則ND∥C₁E，由于N為C₁B₁的中點，E為A₁B₁的中點，利用三角形中位線定理即可得解$\frac{{B}_{1}D}{{A}_{1}{B}_{1}}$的值．

解答 證明：（I）取A₁C₁的中點P，連接AP，NP．
因為：C₁N=NB₁，C₁P=PA₁，
所以：NP∥A₁B₁，NP=$\frac{1}{2}$A₁B₁．   
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，A₁B₁=AB．
故：NP∥AB，且NP=$\frac{1}{2}$AB．
因為：M為AB的中點，所以AM=$\frac{1}{2}$AB．
所以：NP=AM，且NP∥AM．
所以：四邊形AMNP為平行四邊形．
所以：MN∥AP．                          
因為：AP?平面AA₁C₁C，MN?平面AA₁C₁C，
所以：MN∥平面AA₁C₁C．             
（II）因為：CA=CB，M為AB的中點，所以：CM⊥AB．      
因為：CC₁=CB₁，N為B₁C₁的中點，所以：CN⊥B₁C₁．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，所以：CN⊥BC．
因為：平面CC₁B₁B⊥平面ABC，平面CC₁B₁B∩平面ABC=BC．CN?平面CC₁B₁B，
所以：CN⊥平面ABC．                       
因為：AB?平面ABC，所以CN⊥AB．          
因為：CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN=C，
所以：AB⊥平面CMN．
（III）如圖，經(jīng)N點向A₁B₁作垂線，設(shè)垂足為D，連接DM，
因為：ND⊥A₁B₁，AB∥A₁B₁，
所以：ND∥CM，
取A₁B₁的中點E，連接C₁E，則由C₁E∥AB，
所以：ND∥C₁E，
因為：N為C₁B₁的中點，E為A₁B₁的中點，
所以：$\frac{{B}_{1}D}{{B}_{1}E}=\frac{1}{2}$，$\frac{{B}_{1}E}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{1}{2}$，
所以：$\frac{{B}_{1}D}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線面平行的判定定理和線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理，考查邏輯推理能力，注意定理的條件的全面性，屬于中檔題．