Question

1．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{t}{x}$（t＞0）有如下性質(zhì)：該函數(shù)在（0，$\sqrt{t}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{t}$，+∞）是增函數(shù)
（1）若g（x+$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求g（x）的解析式
（2）已知函數(shù)h（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$（x∈[0，1]），利用上述性質(zhì)，求h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求函數(shù)的解析式；
（2）把已知函數(shù)解析式變形，換元后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)值域．

解答 解：（1）由g（x+$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$（x+\frac{1}{x}）^{2}-2$，
得g（x）=x²-2（x≥2或x≤-2）；
（2）h（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$=$\frac{（2x+1）^{2}-8（2x+1）+4}{2x+1}$=$（2x+1）+\frac{4}{2x+1}-8$．
∵x∈[0，1]，∴2x+1∈[1，3]，
令2x+1=t，（t∈[1，3]），
則函數(shù)f（t）=t+$\frac{4}{t}-8$在[1，2]上為減函數(shù)，在[2，3]上為增函數(shù)，
∵f（1）=-3，f（2）=-4，f（3）=-$\frac{11}{3}$．
∴f（t）∈[-4，-3]，故函數(shù)h（x）的值域?yàn)閇-4，-3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，是中檔題．