Question

20．班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從全班36名女同學(xué)，24名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為5的樣本進(jìn)行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，男女學(xué)生各抽幾個(gè)人？
（2）若這5位同學(xué)的政治、歷史分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如表：

學(xué)生編號(hào)	1	2	3	4	5
政治分?jǐn)?shù)x	89	91	93	95	97
歷史分?jǐn)?shù)y	87	89	89	92	93

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點(diǎn)圖說明政治成績y與歷史成績x之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．如果具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關(guān)性，請(qǐng)說明理由．
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$；回歸直線的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$是與x_i對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值．參考值：$\sqrt{15}$≈3.9．

Answer 1

分析 （1）做出女生和男生在總?cè)藬?shù)中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結(jié)果．
（2）先求出兩個(gè)變量的平均數(shù)，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，把做出的系數(shù)和x，y的平均數(shù)代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結(jié)果．

解答 解：（1）男生5×$\frac{24}{60}$=2人，女生5×$\frac{36}{60}$=3人；
（2）可求得：$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（89+91+93+95+97）=93，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（87+89+89+92+93）=90，
$\sum_{i=1}^{5}$$（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=40，$\sum_{i=1}^{5}$$（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}$=24，$\sum_{i=1}^{5}$$（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=30，
r=$\frac{30}{\sqrt{40×24}}$≈0.97，有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，
b=$\frac{30}{40}$=0.75，a=20.25，線性回歸方程是y=0.75x+20.25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸分析的初步應(yīng)用，考查分層抽樣，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，是一個(gè)比較好的綜合題目．