Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，其中，ω＞0，a∈R．
（I）若函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為$\frac{π}{6}$，求ω的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，若f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上的最小值為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，求實數(shù)ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意可得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，求得ω的值．
（Ⅱ）在（I）的條件下，x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{7π}{6}$]，可得函數(shù)的最小值為-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，由此可得a的值．
（Ⅲ）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2}≤2ω•（-\frac{π}{4}）+\frac{π}{3}}\\{2ω•\frac{π}{2}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，由此求得ω 的范圍．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，其中，ω＞0，
函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為$\frac{π}{6}$，∴2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）在（I）的條件下，f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
 在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上，x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{7π}{6}$]，故函數(shù)的最小值為-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，∴a=1．
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2}≤2ω•（-\frac{π}{4}）+\frac{π}{3}}\\{2ω•\frac{π}{2}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
求得ω≤$\frac{1}{6}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．