Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}-2{a}_{n}+2}$+1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₆₄₀₀，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1+lo{g}_{3}_{n-1}，n=2k}\\{{3}^{_{n-1}}，n=2k+1}\end{array}\right.$（k∈N^*），則數(shù)列{b_n}的前n項和S_n的最大值為127．

Answer 1

分析 先求出數(shù)列{（a_n-1）²}為以1為首項以1為公差的等差數(shù)列，得到a_n的通項公式，再歸納推理得到b_n，即為81，3，27，2，9，1，3，0，1，-1，…，由此可以得到當(dāng)n=9時，S_n最大，問題得以解決．

解答 解：∵a_n+1=$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}-2{a}_{n}+2}$+1，
∴（a_n+1-1）²=a_n²-2a_n+2=（a_n-1）²+1
∴（a_n+1-1）²-（a_n-1）²=1，
∵a₁=2，（a₁-1）²=1，
∴數(shù)列{（a_n-1）²}為以1為首項以1為公差的等差數(shù)列，
∴（a_n-1）²=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\sqrt{n}$+1，
∴b₁=a₆₄₀₀=$\sqrt{6400}$+1=81，
∴b₂=-1+log₃b₁=-1+log₃81=-1+4=3，
∴b₃=${3}^{_{2}}$=3³=27，
∴b₄=-1+log₃b₃=-1+3=2，
∴b₅=3²=9，
∴b₆=-1+log₃b₅=-1+2=1，
…，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，數(shù)列{b_2n-1} 是以81為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
當(dāng)n為奇數(shù)時，數(shù)列{b_2n} 是以3為首項，以-1為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=81×$（\frac{1}{3}）^{\frac{n-1}{2}}$=$（\frac{1}{3}）^{\frac{n-9}{2}}$，n為奇數(shù)，
b_n=3+（-1）•$\frac{n-2}{2}$=$\frac{-n+8}{2}$，n為偶數(shù)，
∴數(shù)列為81，3，27，2，9，1，3，0，1，-1，…
由此可以得到當(dāng)n=9時，S_n最大，
即S₉=81+3+27+2+9+2+1+3+0+1=127
故答案為：127．

點評 本題數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和，以及歸納推理的問題，屬于難題．