Question

【題目】已知橢圓中心在原點，焦點在軸上，且其焦點和短軸端點都在圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點是圓上一點，過點作圓的切線交橢圓于，兩點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

（1）由題意設出橢圓的標準方程，由于橢圓焦點和短軸端點都在圓:上，可得到，的值，即可求出橢圓方程。

（2）分類討論切線方程斜率存在與不存在的情況，當斜率不存在時，可直接確定的值，再討論斜率存在時，設出直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示出，再結合直線與圓相切性質消去一個參數，利用函數的單調性確定的范圍，最后得到的最大值。

（1）由橢圓的中心在原點，焦點在軸上，故設橢圓的標準方程為 ，

橢圓的右焦點坐標為，上頂點坐標為

橢圓焦點和短軸端點都在圓:上，

，，解得：，，

，即，

橢圓的標準方程為

（2）當切線的斜率不存在時，切線方程為：，與橢圓的兩個交點為 或，則，

當切線的斜率存在時，設切線方程為：，切線與橢圓交點的坐標分別為，，

聯立方程 ，得：，

由于切線與橢圓相交于兩點，則 ，

由韋達定理可得: ，

又直線與圓相切，

，即，

令 ，則函數單調遞增，當，

，

綜上所述，