Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，a₁=-1，a₂=2，滿足S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），則a₂₀₁₆=2016²-2．

Answer 1

分析 由S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-a_n-1+2（n≥2），即a_n+1=2a_n-a_n-1+2（n≥2），則（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2（n≥2），說(shuō)明
數(shù)列{a_n+1-a_n}是以2為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，然后利用累加法求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式得答案．

解答 解：由S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），得
S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-a_n-1+2（n≥2），
∴a_n+1=2a_n-a_n-1+2（n≥2），
則（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2（n≥2），
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2-（-1）=3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
則a_n+1-a_n=3+2（n-1）=2n+1，
∴a₂-a₁=2×1+1，
a₃-a₂=2×2+1，
a₄-a₃=2×3+1，
…
a_n-a_n-1=2（n-1）+1，
累加得：a_n-a₁=2[1+2+3+…+（n-1）]+（n-1）=$2×\frac{n（n-1）}{2}+n-1={n}^{2}-1$，
則${a}_{n}={n}^{2}-2$，
∴${a}_{2016}=201{6}^{2}-2$．
故答案為：2016²-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，把已知數(shù)列遞推式變形是關(guān)鍵，是中檔題．