Question

13．如圖1，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=$\frac{1}{2}$BC=2，E是BC的中點，AE∩BD=M，將△BAE沿著AE翻折成圖2△B₁AE．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面B₁DM；
（Ⅱ）若B₁C=$\sqrt{10}$，求棱錐B₁-CDE的體積．

Answer 1

分析 （1）由題意可知四邊形ABED是菱形，四邊形AECD是平行四邊形，故CD∥AE．AE⊥B₁M，AE⊥DM，故而AE⊥平面B₁DM，從而CD⊥平面B₁DM；
（2）由條件可知△ABE，△ADE，△CDE是等邊三角形，求出B₁M，DM，CM，由勾股定理可證B₁M⊥MC，于是B₁M⊥平面AECD，即B₁M為棱錐的高．

解答 （I）證明：連接DE，∵AD∥BC，AB=AD=$\frac{1}{2}$BC=BE=CE=CD，
∴四邊形ABED和AECD是菱形，
∴AE∥CD，BM⊥AM，DM⊥AM，即B₁M⊥AE，DM⊥AE，
又∵DM∩B₁M=M，MD?平面B₁MD，B₁M?平面B₁MD，
∴AE⊥平面B₁MD．∵AE∥CD，
∴CD⊥平面B₁DM．
（Ⅱ） 連接CM，∵AB=AD=AE=BE=CE=CD=DE=2，AE⊥BD，
∴B₁M=DM=$\sqrt{3}$．S_△CDE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$．
∴CM=$\sqrt{C{D}^{2}+D{M}^{2}}=\sqrt{7}$，∵B₁C=$\sqrt{10}$，
∴B₁M²+CM²=B₁C²，∴B₁M⊥CM，
又B₁M⊥AE，MC∩AE=M，
∴B₁M⊥平面CDE．
∴V${\;}_{{B}_{1}-CDE}$=$\frac{1}{3}$S_△CDE•B₁M=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．