Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$與函數(shù)y=$\sqrt{x}$的圖象交于點P，若函數(shù)y=$\sqrt{x}$的圖象在點P處的切線過雙曲線左焦點F（-2，0），則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出切點坐標(biāo)，通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切點坐標(biāo)，然后求解雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)P（m，$\sqrt{m}$），
函數(shù)y=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
可得切線的斜率為$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，
又在點P處的切線過雙曲線左焦點F（-2，0），
可得$\frac{1}{2\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{m}}{m+2}$，解得m=2，
即P（2，$\sqrt{2}$），
可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{^{2}}$=1，又c²=a²+b²．c=2，
解得a=b=$\sqrt{2}$，
則雙曲線的離心率是e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故選：B．

點評 本題主要考查過曲線外一點作曲線切線的基本方法，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，對考生的運算求解能力和推理論證能力提出較高要求．