Question

8．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的點(diǎn)P到點(diǎn)（5，0）的距離為8.5，則點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為$\frac{66}{5}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，以及離心率e，由雙曲線的性質(zhì)可得P為右支上一點(diǎn)，運(yùn)用雙曲線的第二定義，可得P到右準(zhǔn)線的距離，由準(zhǔn)線方程即可得到所求距離．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=4，b=3，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
點(diǎn)P到點(diǎn)（5，0）的距離為8.5，
即為P到右焦點(diǎn)F的距離為8.5，
若P在左支上，即有|PF|≥c+a=9，
可得P為右支上一點(diǎn)，
即有e=$\frac{|PF|}snmgvy1$（d為P到由準(zhǔn)線的距離），
可得d=$\frac{|PF|}{e}$=$\frac{8.5}{\frac{5}{4}}$=$\frac{34}{5}$，
由兩準(zhǔn)線的距離為$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{32}{5}$，
可得點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為$\frac{34}{5}$+$\frac{32}{5}$=$\frac{66}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用雙曲線的第二定義，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．