Question

12．已知集合A={x∈R|ax²+2x+1=0}，其中a∈R．
（1）若$\frac{1}{2}$∈A，用列舉法表示A；
（2）若A中有且僅有一個(gè)元素，求a的值組成的集合B．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{1}{2}$代入方程ax²+2x+1=0求得a的值；然后再來解該一元二次方程；
（2）由已知中集合A={x∈R|ax²+2x+1=0}，只有一個(gè)元素，根據(jù)集合元素的確定性，我們可以將問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于x的方程ax²+2x+1=0有且只有一個(gè)解，分類討論二次項(xiàng)系數(shù)a的值，結(jié)合二次方程根與△的關(guān)系，即可得到答案．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$∈A，∴$\frac{1}{2}$是方程ax²+2x+1=0的根，
∴$a{（{\frac{1}{2}}）^2}+2×\frac{1}{2}+1=0$，解得a=-8．∴方程為-8x²+2x+1=0．
∴x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{1}{4}$，此時(shí)A=$\left\{{-\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}\right\}$．
（2）若a=0，則方程為2x+1=0，x=-$\frac{1}{2}$，A中僅有一個(gè)元素；
若a≠0，A中僅有一個(gè)元素，則△=4-4a=0，即a=1，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根
x₁=x₂=-1．
故所求集合B={0，1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合元素的確定性及方程根的個(gè)數(shù)的判斷及確定，其中根據(jù)元素的確定性，將問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于x的方程ax²+2x+1=0有且只有一個(gè)解，是解答本題的關(guān)鍵．