Question

20．某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為 （490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)ξ為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（3）如果一件產(chǎn)品的重量低于495克或超過510克都要重新包裝，且把頻率視作概率．現(xiàn)在從該流水線上每間隔30分鐘都隨機地取出兩件產(chǎn)品進行檢測，共取三次，若發(fā)現(xiàn)有需要重新包裝的產(chǎn)品，就要停產(chǎn)對該流水線進行維修和調(diào)試，問：就目前的生產(chǎn)情況，該流水線是否需要停產(chǎn)？為什么？

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖，t先求出重量超過505克的產(chǎn)品所占頻率，由此能求出重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量．
（2）抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)ξ為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，則ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（3）一件產(chǎn)品的重量低于495克或超過510克都要重新包裝，且把頻率視作概率，則任取一件產(chǎn)品需要重新包裝的概率為（0.03+0.01）×5=0.2，現(xiàn)在從該流水線上每間隔30分鐘都隨機地取出兩件產(chǎn)品進行檢測，則兩件產(chǎn)品都不需要重新包裝的概率為0.64，由此得到就目前的生產(chǎn)情況，該流水線需要停產(chǎn)．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得重量超過505克的產(chǎn)品所占頻率為：
（0.05+0.01）×5=0.3，
∴重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為：0.3×40=12（件）．
（2）抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)ξ為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，則ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{28}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{63}{130}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{28}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{28}{65}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{11}{130}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{63}{130}$	$\frac{28}{65}$	$\frac{11}{130}$

E（ξ）=$0×\frac{63}{130}+1×\frac{28}{65}+2×\frac{11}{130}$=$\frac{39}{65}$．
（3）一件產(chǎn)品的重量低于495克或超過510克都要重新包裝，且把頻率視作概率，
則任取一件產(chǎn)品需要重新包裝的概率為（0.03+0.01）×5=0.2，
現(xiàn)在從該流水線上每間隔30分鐘都隨機地取出兩件產(chǎn)品進行檢測，
則兩件產(chǎn)品都不需要重新包裝的概率為：（1-0.2）（1-0.2）=0.64，
共取三次，若發(fā)現(xiàn)有需要重新包裝的產(chǎn)品，就要停產(chǎn)對該流水線進行維修和調(diào)試，
∴就目前的生產(chǎn)情況，該流水線是需要停產(chǎn)的概率p=$1-{C}_{3}^{3}0.6{4}^{3}$=0.737856．
∴就目前的生產(chǎn)情況，該流水線需要停產(chǎn)．

點評 本題考查頻數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運用．