Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=

1

2

S_n（n=1，2，3，…）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)b_n=log 

3

2

（3a_n+1）時(shí)，求證：數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n=

n

1+n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出；
（2）b_n=log

3

2

(

3

2

)n=n，可得

1

bnbn+1

=

1

n

-

1

n+1

．再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （1）解：∵a_n+1=

1

2

S_n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=

1

2

Sn-1，∴a_n+1-a_n=

1

2

an，即an+1=

3

2

an．
當(dāng)n=1時(shí)，a2=

1

2

a1，a₁=1，∴

a2

a1

=

1

2

≠

3

2

，
因此當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為

1

2

，公比為

3

2

，
∴an=

1

2

×(

3

2

)n-2，
∴an=

1，n=1 1 2 ×( 3 2 )n-2，n≥2

．
（2）證明：b_n=log

3

2

（3a_n+1）=log

3

2

(

3

2

)n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

1+n

．
∴數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n=

n

1+n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．