Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明，若f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，則n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=n•f（n）（n≥2，且n∈N₊）．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題，①驗證n=1時命題成立；②假設(shè)n=k時，命題成立，從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，證明n=k+1時也成立，從而證明命題正確．

解答： 解：（1）當(dāng)n=2時，左邊=2+f（1）=2+1=3，
右邊=2•f（2）=2×（1+

1

2

）=3，左邊=右邊，等式成立．ks5u
（2）假設(shè)n=k時等式成立，即
k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）．
由已知條件可得f（k+1）=f（k）+

1

k+1

，
右邊=（k+1）•f（k+1）（先寫出右邊，便于左邊對照變形）．
當(dāng)n=k+1時，左邊=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）
=[k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）]+1+f（k）（湊成歸納假設(shè)）
=kf（k）+1+f（k）（利用假設(shè)）
=（k+1）•f（k）+1
=（k+1）•[f（k+1）-

1

k+1

]+1
=（k+1）•f（k+1）=右邊．
∴當(dāng)n=k+1時，等式也成立．
由（1）（2）可知，對一切n≥2的正整數(shù)等式都成立．

點評：考查數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法步驟，特別是（2）是關(guān)鍵，是核心，也是數(shù)學(xué)歸納法證明命題的難點所在，屬中檔題．