Question

【題目】設(shè)a，b是正奇數(shù)，數(shù)列{cn}（n∈N*）定義如下：c1=a，c2=b，對(duì)任意n≥3，cn是cn﹣1+cn﹣2的最大奇約數(shù)．?dāng)?shù)列{cn}中的所有項(xiàng)構(gòu)成集合A．
（1）若a=9，b=15，寫(xiě)出集合A；
（2）對(duì)k≥1，令dk=max{c2k ， c2k﹣1}（max{p，q}表示p，q中的較大值），求證：dk+1≤dk；
（3）證明集合A是有限集，并寫(xiě)出集合A中的最小數(shù)．】

Answer 1

【答案】
（1）解：數(shù)列{cn}為：9，15，3，9，3，3，3，

故集合A={9，15，3}．

（2）證明：由題設(shè)，對(duì)n≥3，cn﹣2，cn﹣1都是奇數(shù)，所以cn﹣1+cn﹣2是偶數(shù)．

從而cn﹣1+cn﹣2的最大奇約數(shù) ，

所以cn≤max{cn﹣1，cn﹣2}，當(dāng)且僅當(dāng)cn﹣1=cn﹣2時(shí)等號(hào)成立．

所以，對(duì)k≥1有c2k+1≤max{c2k，c2k﹣1}=dk，

且c2k+2≤max{c2k+1，c2k}≤max{dk，dk}=dk．

所以dk+1=max{c2k+2，c2k+1}≤dk，當(dāng)且僅當(dāng)c2k=c2k﹣1時(shí)等號(hào)成立．

（3）由（2）知，當(dāng)n≥3時(shí)，有cn≤max{cn﹣1，cn﹣2}．

所以對(duì)n≥3，有cn≤max{c1，c2}=max{a，b}．

又cn是正奇數(shù)，且不超過(guò)max{a，b}的正奇數(shù)是有限的，

所以數(shù)列{cn}中的不同項(xiàng)是有限的．

所以集合A是有限集．

集合A中的最小數(shù)是a，b的最大公約數(shù)

【解析】（1）利用列舉法寫(xiě)出數(shù)列{cn}，易得集合A；（2）由題設(shè)，對(duì)n≥3，cn﹣2 ， cn﹣1都是奇數(shù)，所以cn﹣1+cn﹣2是偶數(shù)．從而cn﹣1+cn﹣2的最大奇約數(shù) ，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）有限集是指元素的個(gè)數(shù)是有限個(gè)的集合，從而確定答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解集合的表示方法-特定字母法的相關(guān)知識(shí)，掌握①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合.③描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合．