Question

16．已知直線l：mx+y+m+2=0上存在點(diǎn)P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y-4≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，則l在y軸上的截距b取值范圍為（　�。�

• A． [-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$]
• B． [-$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． [-∞，$\frac{1}{2}$]
• D． [0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 作出可行域，根據(jù)圖形，由直線l恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）可求出直線l的截距的最大值和最小值．

解答 解：作出約束條件表示的可行域如圖所示：

直線l的方程化成點(diǎn)斜式為y+2=-m（x+1）．
∴直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）．
設(shè)直線PC，PB在y軸上的截距分別是a，c．則直線l的截距a≤b≤c．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$得B（1，3），
∴直線PB的方程為$\frac{y+2}{3+2}=\frac{x+1}{1+1}$，即5x-2y+1=0，
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$得C（2，2）．
∴直線PC的方程為$\frac{y+2}{2+2}=\frac{x+1}{2+1}$，即4x-3y-2=0．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{2}{3}$．
∴-$\frac{2}{3}≤b≤\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，直線方程，屬于中檔題．