Question

20、已知函數(shù)f（x）=e^-x，g（x）=x²+mx+m，設h（x）=f（x）•g（x），求函數(shù)h（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，先求出h（x）的導數(shù)，根據h′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，h′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間．

解答：解：∵h^/（x）=-e^-x（x²+mx+m）+e^x（2x+m）=-e^-xx[x-（2-m）]．
=1 ①當m＜2時，x變化時，h（x），h^/（x）的變化情況如下表：

∴h（x）的單調遞增區(qū)間為（0，2-m），單調遞減區(qū)間為（-∞，0），（2-m，+∞）．
②當m=2時，∵h^/（x）=-e^-xx²＜0，
∴h（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，+∞）．
③當m＞2時，x變化時，h（x），h^/（x）的變化情況如下表：

∴h（x）的單調遞增區(qū)間為（2-m，0），單調遞減區(qū)間為（-∞，2-m），（0，+∞）．

點評：本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想．屬于基礎題．