Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF₁|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A、B兩點(diǎn)，若△F₂AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 （　�。�

• A、

  3

• B、2
• C、

  3

  -1
• D、1+

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：連結(jié)AF₁，根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證出△F₁AF₂是含有30°角的直角三角形，由此得到|F₁A|=c且|F₂A|=

3

c．再利用雙曲線的定義，得到2a=|F₂A|-|F₁A|=（

3

-1）c，即可算出該雙曲線的離心率．

解答： 解：連結(jié)AF₁，
∵F₁F₂是圓O的直徑，
∴∠F₁AF₂=90°，即F₁A⊥AF₂，
又∵△F₂AB是等邊三角形，F(xiàn)₁F₂⊥AB，
∴∠AF₂F₁=

1

2

∠AF₂B=30°，
因此，Rt△F₁AF₂中，|F₁F₂|=2c，|F₁A|=

1

2

|F₁F₂|=c，
|F₂A|=

3

2

|F₁F₂|=

3

c．
根據(jù)雙曲線的定義，得2a=|F₂A|-|F₁A|=（

3

-1）c，
解得c=（

3

+1）a，
∴雙曲線的離心率為e=

c

a

=

3

+1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題給出以雙曲線焦距F₁F₂為直徑的圓交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，在△F₂AB是等邊三角形的情況下求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．